Bài tập 9, § 15

Cho $E$ là một trường, $G$ là một nhóm các tự đẳng cấu của $E$ và $K$ là trường con của $E$ gồm các phần tử bất biến dưới $G$. a) Chứng minh rằng với mọi trường con $L$ của $E$ ổn định đối với các phần tử của $G$, $L$ và $K$ độc lập tuyến tính trên $L \cap K$. (Xét một quan hệ tuyến tính $\sum \lambda_j x_j = 0$ giữa các phần tử x_j \in K độc lập tuyến tính trên L \cap K, với $\lambda_j \in L$ không phải tất cả đều bằng không, sao cho số các $A_j \neq 0$ là nhỏ nhất có thể.) b) Nếu $L \cap K$ là trường bất biến của một nhóm các tự đẳng cấu của K, hãy chứng minh rằng L là trường bất biến của một nhóm các tự đẳng cấu của $L(K)$.