Exercice 7, § 16

On suppose vérifiées les hypothèses de l’exerc. 6, et en outre que le degré d’imperfection de E sur K (V, p. 160, exerc. 1) est fini (ce qui est toujours le cas si E est une extension de K de type fini). a) Soit B une $p$-base de F sur $K(F^p)$, qui est aussi une base de transcendance séparante de F sur K (et une base de transcendance de E sur K). Montrer que pour tout entier $k > 0$, $B^{p^k}$ est une partie $p$-indépendante de $K(E^{p^k})$ sur $K(E^{p^{k+1}})$. Soit $q = \deg.\operatorname{tr}_K E$; si $m_k + q$ est le degré d’imperfection de $K(E^{p^k})$ sur $K(E^{p^{k+1}})$, montrer que $p^f$, où $f = \sum_{k=0}^{h-1} m_k$, est égal au degré [E : F], et est par suite indépendant du choix de la sous-extension distinguée F de E. On dit que $p^f$ est l’ordre d’inséparabilité de E sur K et on le note [E : K]_i ; ce nombre coïncide avec le degré inséparable noté [E : K]_i en V, p. 45 lorsque E est de degré fini. b) Pour $0 \leqslant k \leqslant h - 1$, $[K^{p^{-k}}(E) : K^{p^{-k}}]_i$ est égal à $p^{f_k}$, où $f_k = \sum_{j=k}^{h-1} m_j$. c) Soit L une sous-extension de E, séparable sur K et telle que E soit radiciel et de degré fini

sur L ; montrer que [E : L] ≥ [E : K]i (si l’on pose [L(Ep^k) : K(Ep^k)] = p^{r_k}, montrer que r_{k+1} ≤ r_k + q, en considérant une base de L(Ep^k) sur K(Ep^k) et une base de L sur K(L^p)). d) Soit K’ une extension de K telle que K’ et E soient contenues dans une même extension algébriquement close Ω de K. Montrer que si K’(F) est séparable sur K’, c’est une sous-extension distinguée de l’extension K’(E) de K’. Il en est ainsi lorsque K’ et E sont algébriquement disjoints sur K, et l’on a alors [K’(E) : K’]i ≤ [E : K]i ; l’égalité a lieu lorsque K’ et E sont linéairement disjoints sur K, ou lorsque K’ est une extension algébrique séparable de K. e) Montrer que [E : K]i est la plus petite valeur de [E : K(B)]i pour toutes les bases de transcendance B de E sur K ; si $\overline{K}$ est la fermeture algébrique de K dans Ω (qui est une clôture algébrique de K), on a [E : K(B)]i = [E : K]i[$\overline{K}(E) : \overline{K}(B)$]i. Si L est une sous-extension de E telle que E soit extension algébrique de L et $\overline{K}(E)$ une extension (algébrique) séparable de $\overline{K}(L)$, alors la plus grande extension séparable F de L contenue dans E est distinguée. f) On suppose que E est une extension de type fini de K ; montrer que pour toute sous-extension L de E, on a [L : K]i ≤ [E : K]i ≤ [L : K]i[E : L]i. Donner un exemple où