Bài tập 7, § 16

Giả sử các giả thiết của Bài tập 6 được thỏa mãn, và thêm rằng bậc không hoàn thiện của $E$ trên $K$ (V, p. 170, Ex. 1) là hữu hạn (điều này luôn xảy ra nếu $E$ là một mở rộng sinh hữu hạn của $K$).

a) Cho $B$ là một cơ sở p của $F$ trên $K(F^p)$ đồng thời là một cơ sở siêu việt tách được của $F$ trên $K$ (và là một cơ sở siêu việt của $E$ trên $K$). Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k > 0$, $B^{p^k}$ là một tập con p-độc lập của $K(E^{p^k})$ trên $K(E^{p^{k+1}})$. Cho $q = \operatorname{tr.deg}_K E$; nếu $m_k + q$ là bậc không hoàn thiện của $K(E^{p^k})$ trên $K(E^{p^{k-1}})$, chứng minh rằng $p^f$, với $f = \sum_{k=0}^{h-1} m_k$, bằng bậc $[E : F]$ và do đó độc lập với lựa chọn mở rộng con đặc biệt $F$ của $E$. Số nguyên $p^f$ được gọi là cấp không tách được của $E$ trên $K$ và được viết là $[E : K]_i$; số này trùng với bậc không tách được được ký hiệu bởi $[E : K]$, trong V, p. 46 khi $E$ có bậc hữu hạn.

b) Với $0 \leq k \leq h - 1$, $[K^{p^{-k}}(E) : K^{p^{-k}}]$ bằng $p^{f_k}$, trong đó $f_k = \sum_{j=k}^{h-1} m_j$.

c) Cho $L$ là một mở rộng con của $E$, tách được trên $K$ và sao cho $E$ là p-căn và có bậc hữu hạn trên $L$; chứng minh rằng $[E : L] \geq [E : K]$, (nếu $[L(E^{p^k}) : K(E^{p^k})] = p^{r_k}$, chứng minh rằng $r_{k+1} \leq r_k + q$, bằng cách xét một cơ sở của $L(E^{p^k})$ trên $K(E^{p^k})$ và một cơ sở của $L$ trên $K(L^p)$).

d) Cho $K'$ là một mở rộng của $K$ sao cho $K'$ và $E$ được chứa trong cùng một mở rộng đóng đại số $\Omega$ của $K$. Hãy chứng minh rằng nếu $K'(F)$ là tách được trên $K'$, thì nó là một mở rộng con đặc biệt của mở rộng $K'(E)$ của $K'$. Điều này xảy ra khi $K'$ và $E$ rời nhau đại số trên $K$ và khi đó ta có $[K'(E) : K'] \leq [E : K]$,; đẳng thức được thỏa mãn khi $K'$ và $E$ rời nhau tuyến tính trên $K$ hoặc khi $K'$ là một mở rộng đại số tách được của $K$.

e) Hãy chứng minh rằng $[E : K]_i$ là giá trị nhỏ nhất của $[E : K(B)]_i$ đối với mọi cơ sở siêu việt $B$ của $E$ trên $K$; nếu $K$ là bao đóng đại số tương đối của $K$ trong $\Omega$ (là một bao đóng đại số của $K$), thì $[E : K(B)]_i = [E : K]_i [\bar{K}(E) : \bar{K}(B)]_i$. Nếu $L$ là một mở rộng con của $E$ sao cho $E$ là một mở rộng đại số của $L$ và $\bar{K}(E)$ là một mở rộng tách được (đại số) của $\bar{K}(L)$, thì mở rộng tách được lớn nhất $F$ của $L$ được chứa trong $E$ là đặc biệt.

f) Giả sử rằng $E$ là một mở rộng sinh hữu hạn của $K$; hãy chứng minh rằng với mọi mở rộng con $L$ của $E$ ta có $[L : K]_i \leq [E : K]_i \leq [L : K]_i [E : L]_i$. Hãy cho một ví dụ trong đó