Exercice 4, § 17

Soient K un corps, E et F deux extensions de K. a) On suppose que K est algébriquement fermé dans F. Montrer que si $(L, u, v), (L', u', v')$ sont deux extensions composées de E et F telles que $u(E)$ et $v(F)$ (resp. $u'(E)$ et $v'(F)$) soient algébriquement disjointes sur K, ces deux extensions composées sont isomorphes. (Considérer d’abord le cas où E est une extension transcendante pure de K ; puis utiliser l’exerc. 2, a), ainsi que l’exerc. 6, b) de V, p. 146.) b) Soient $E_s, F_s$ les fermetures séparables de K dans E et F respectivement. On suppose que toutes les extensions composées de $E_s$ et $F_s$ sont isomorphes. Montrer alors que si $(L, u, v)$ et $(L', u', v')$ sont deux extensions composées de E et F telles que $u(E)$ et $v(F)$ (resp. $u'(E)$ et $v'(F)$) soient algébriquement disjointes sur K, ces deux extensions composées sont isomorphes (utiliser a) et l’exerc. 11 de V, p. 163).