Bài tập 4, § 17

Cho $K$ là một trường và $E, F$ là hai mở rộng của $K$. a) Giả sử rằng $K$ đóng đại số tương đối trong $F$. Chứng minh rằng nếu $(L, u, v)$, $(L', u', v')$ là hai mở rộng hợp thành của $E$ và $F$ sao cho $u(E)$ và $v(F)$ (tương ứng $u'(E)$ và $v'(F)$) rời nhau về mặt đại số trên $K$, thì hai mở rộng hợp thành này đẳng cấu. (Trước hết xét trường hợp $E$ là một mở rộng siêu việt thuần túy của $K$; sau đó dùng Bài tập 2, a), cũng như Bài tập 6, b) của V, p. 154) b) Cho $E_s, F_s$ lần lượt là các bao đóng tách được tương đối của $K$ trong $E$ và $F$. Giả sử rằng mọi mở rộng hợp thành của $E$ và $F_s$ đều đẳng cấu. Chứng minh rằng nếu $(L, u, v)$ và $(L', u', v')$ là hai mở rộng hợp thành của $E$ và $F$ sao cho $u(E)$ và $v(F)$ (tương ứng $u'(E)$ và $v'(F)$) rời nhau về mặt đại số trên $K$, thì hai mở rộng hợp thành này đẳng cấu (dùng a) và Bài tập 11 của V, p. 173).