Exercice 5, § 17

Soient K un corps et $p$ son exposant caractéristique. Pour tout entier $n > 0$ premier à $p$, on note $\varphi_K(n)$ le degré sur K de $R_n(K) = K(\mu_n)$, où $\mu_n$ désigne le groupe des racines $n$-èmes de l’unité dans une clôture algébrique de K. Par exemple $\varphi_Q(n) = \varphi(n)$ (V, p. 80, th. 2); si K est fini à q éléments, $\varphi_K(n)$ est l’ordre de la classe de q dans $(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^*$ (V, p. 93, cor.) ; si K est algébriquement clos, $\varphi_K(n) = 1$ pour tout $n$. a) Soit E la fermeture algébrique du corps premier $K_0$ dans K. Montrer que $\varphi_K(n) = \varphi_E(n)$. b) Supposons que K soit une extension de type fini de $K_0$. Soit $m$ un entier $> 0$. Il existe un entier $N > 0$ divisible par tout $n$ tel que $\varphi_K(n) \leq m$. c) Soit s un élément de $GL_m(K)$ d’ordre fini. Montrer que $s^N$ est d’ordre une puissance de $p$. (On a $s = tu = ut$ où $u$ est d’ordre une puissance de $p$ et $t$ est d’ordre $n$ premier à $p$. L’élément $t$ est racine du polynôme séparable $X^n - 1$ ainsi que de son polynôme caractéristique ; en déduire que la sous-algèbre A de $M_m(K)$ engendrée par $t$ est étale, de degré $\leq m$, isomorphe à un produit d’extensions $R_d(K)$ où $d$ parcourt certains des diviseurs de $n$, y compris $n$. Par suite $\varphi_K(n) \leq m$; utiliser b).)