Bài tập 5, § 17

Cho $K$ là một trường và $p$ là số mũ đặc số của nó. Với mọi số nguyên $n > 0$ và nguyên tố cùng nhau với $p$, ký hiệu $\varphi_K(n)$ là bậc trên $K$ của $R_n(K) = K(\mu_n)$, trong đó $\mu_n$ ký hiệu nhóm các nghiệm đơn vị bậc n trong một bao đóng đại số của $K$. Chẳng hạn $\varphi_Q(n) = \varphi(n)$ (V, p. 84, Th. 2); nếu $K$ là hữu hạn với $q$ phần tử, $\varphi_K(n)$ là cấp của lớp thặng dư của $q$ trong $(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^*$ (V, p. 97, Hệ quả) ; nếu $K$ đóng đại số, $\varphi_K(n) = 1$ với mọi $n$. a) Cho $E$ là bao đóng đại số tương đối của trường nguyên tố $K_p$ trong $K$. Chứng minh rằng $\varphi_K(n) = \varphi_{F_p}(n)$. b) Giả sử rằng $K$ là một mở rộng sinh hữu hạn của $K_p$. Cho $m$ là một số nguyên $> 0$; khi đó tồn tại một số nguyên $N > 0$ chia hết cho mọi $n$ sao cho $\varphi_K(n) \leq m$. c) Cho $s$ là một phần tử của $GL_m(K)$ có cấp hữu hạn. Chứng minh rằng $s^N$ có cấp là một lũy thừa của $p$. (Ta có $s = tu = ut$, trong đó $u$ có cấp là một lũy thừa của $p$ và $t$ có cấp $n$ nguyên tố cùng nhau với $p$. Phần tử $t$ là nghiệm của một đa thức tách được $X^n - 1$ cũng như của đa thức đặc trưng của nó; suy ra rằng đại số con $A$ của $M_m(K)$ sinh bởi $t$ là etale, có bậc $\leq m$, đẳng cấu với một tích của các mở rộng $R_d(K)$, trong đó $d$ chạy qua một số ước nhất định của $n$ bao gồm cả chính $n$. Do đó $\varphi_K(n) \leq m$; dùng b.).