Exercice 1, § 2

a) Montrer que pour tout entier $a \neq 0$, le polynôme $X^4 - aX - 1$ est irréductible dans $\mathbf{Q}[X]$. b) Soit $\alpha$ une racine de $X^4 - aX - 1$ dans une extension de $\mathbf{Q}$, et soit $K = \mathbf{Q}(\alpha)$, qui est de degré 4 sur $\mathbf{Q}$. Montrer qu’il y a une infinité de valeurs de $a \in \mathbf{Z}$ telles que $K$ ne contienne aucun sous-corps F distinct de $\mathbf{Q}$ et de $K$.