Exercice 3, § 5

Soit $K$ un corps de caractéristique $p > 2$, et soit $F$ le corps de fractions rationnelles $K(X, Y)$. Soit $E = F(\theta)$ une extension de $F$ engendrée par une racine $\theta$ du polynôme

de $F[Z]$. Montrer que $[E : F(\theta^p)] = p$, mais que $E$ ne contient aucun élément radiciel sur $F$ n’appartenant pas à $F$. (Remarquer d’abord que $f$ est irréductible dans $F[Z]$; s’il existait $\beta \in E$ tel que $\beta^p \in F, \beta \notin F, f$ serait réductible dans $F(\beta)[Z]$; en utilisant l’exerc. 2, montrer que $X^{1/p}$ et $Y^{1/p}$ appartiendraient à $E$, et qu’on aurait $[E : F] \geq p^2$.) (Voir l’exerc. 1 de V, p. 145).