Bài tập 3, § 5

Cho $K$ là một trường có đặc số $p > 2$ và cho $F$ là trường các phân thức hữu tỉ $K(X, Y)$. Cho $E = F(\theta)$ là một mở rộng của $F$ sinh bởi một nghiệm $\theta$ của đa thức

trong $F[Z]$. Hãy chỉ ra rằng $[E : F(\theta^p)] = p$, nhưng $E$ chứa phần tử không căn trên $F$ không thuộc $F$. (Trước hết nhận xét rằng $f$ là bất khả quy trong $F[Z]$; nếu tồn tại $\beta \in E$ sao cho $\beta^p \in F$, $\beta \notin F$, thì $f$ sẽ khả quy trong $F(\beta)[Z]$; dùng Bài tập 2, hãy chỉ ra rằng khi đó $X^{1/p}$ và $Y^{1/p}$ sẽ thuộc $E$ và ta sẽ có $[E : F] \geq p^2$.) (Xem Bài tập 1, V, § 7).