Exercice 2, § 6

Soit $\Gamma$ un monoïde commutatif fini. Considérons les conditions $E_0$ et $E_p$ suivantes, où $p$ désigne un nombre premier. $(E_0)$ Si $x \in \Gamma$ et si $e, d$ sont des entiers $\geq 0$, la relation $x^{e+d} = x^d$ entraîne la relation $x^{e+1} = x$. $(E_p)$ Si $x, y \in \Gamma$ la relation $x^p = y^p$ entraîne la relation $x = y$. Soit $K$ un corps de caractéristique $p (\geq 0)$ et soit $A$ la $K$-algèbre $K^{(\Gamma)}$ du monoïde $\Gamma$. a) Pour que $A$ soit étale, il faut et il suffit que la condition $(E_p)$ soit satisfaite. (Utiliser l’exerc. 1 pour la suffisance. Pour la nécessité, remarquer, pour $p = 0$, que $x^{e+1} - x$ est nilpotent si $x^{e+d} = x^d$; pour $p > 0$ utiliser le cor. de V, p. 34.) b) Soit $X$ l’ensemble des homomorphismes de $\Gamma$ dans le monoïde multiplicatif de $K$. On a $\operatorname{Card} X \leq \operatorname{Card} \Gamma$. Si $K$ est algébriquement clos, on a $\operatorname{Card} X = \operatorname{Card} \Gamma$ si et seulement si la condition $(E_p)$ est satisfaite. c) Si $\Gamma$ est un groupe la condition $(E_0)$ est toujours satisfaite ; si $p > 0$ la condition $(E_p)$ équivaut à dire que tout élément de $\Gamma$ est d’ordre premier à $p$, ou encore à dire que $\operatorname{Card} \Gamma$ n’est pas divisible par $p$.