Bài tập 2, § 6

Cho $\Gamma$ là một monoit giao hoán hữu hạn. Xét các điều kiện sau đây $E_0$ và $E_p$, trong đó $p$ chỉ một số nguyên tố. $(E_0)$ Nếu $x \in \Gamma$ và nếu $e, d$ là các số nguyên $\geq 0$, quan hệ $x^{e+d} = x^d$ suy ra quan hệ $x^{e+1} = x$. $(E_p)$ Nếu $x, y \in \Gamma$, quan hệ $x^p = y^p$ suy ra $x = y$. Cho $K$ là một trường có đặc số $p$ ($\geq 0$) và cho $A$ là $K$-đại số $K^{(\Gamma)}$ của monoit $\Gamma$. a) Để $A$ là étale thì điều kiện cần và đủ là điều kiện $(E_p)$ được thỏa mãn. (Dùng Bài tập 1 cho tính đủ. Với tính cần, xét khi $p = 0$ rằng $x^{e+1} - x$ là lũy linh nếu $x^{e+d} = x^d$; với $p > 0$ dùng Hệ quả ở V, p. 35.) b) Cho $X$ là tập hợp các đồng cấu của $\Gamma$ vào monoit nhân của $K$. Ta có $\mathrm{Card}\ X \leq \mathrm{Card}\ \Gamma$. Nếu $K$ đóng đại số, thì $\mathrm{Card}\ X = \mathrm{Card}\ \Gamma$ đúng khi và chỉ khi điều kiện $(E_p)$ được thỏa mãn. c) Nếu $\Gamma$ là một nhóm, điều kiện $(E_0)$ luôn được thỏa mãn ; nếu $p > 0$, điều kiện $(E_p)$ tương đương với việc nói rằng mỗi phần tử của $\Gamma$ có cấp nguyên tố cùng nhau với $p$, hay cũng tương đương với việc $\mathrm{Card}\ \Gamma$ không chia hết cho $p$.