Exercice 4, § 9

Soient K un corps, f un polynôme irréductible de K[X], séparable sur K et de degré n, et soient α_i (1 ≤ i ≤ n) ses racines dans une clôture algébrique Ω de K. Soient g un polynôme de K[X], h un facteur irréductible dans K[X] du polynôme f(g(X)). Montrer que le degré de h est un multiple rn de n, et que h a exactement r racines communes avec chacun des polynômes g(X) − α_i (1 ≤ i ≤ n) de Ω[X] (considérer les conjugués sur K d’une racine de h).