Exercice 5, § 9

a) Soient K un corps, Ω une clôture algébrique de K, E et F deux sous-extensions de Ω. Montrer que toute extension composée de E et F (V, p. 11) est isomorphe à une extension composée de la forme (L_w, 1, w), où w désigne un K-isomorphisme de F sur un sous-corps de Ω, 1 l’application identique de E, et L_w le sous-corps de Ω engendré par E ∪ w(F). b) Déduire de a) que si F est de degré fini n sur K, il y a au plus n extensions composées de E et F deux à deux non isomorphes. c) On suppose que E est une extension quasi-galoisienne de K, et F une sous-extension de E. Montrer que toute extension composée de E et F est isomorphe à une extension composée de la forme (E, 1, v), où v est un K-isomorphisme de F sur un sous-corps de E.