Bài tập 5, § 9

(a) Cho $K$ là một trường, $\Omega$ là một bao đóng đại số của $K$ và $E, F$ là hai mở rộng con của $\Omega$. Chứng minh rằng mọi mở rộng hợp thành của $E$ và $F$ (V, p. 12) đều đẳng cấu với một mở rộng hợp thành có dạng $(L_w, 1, w)$, trong đó $w$ là một $K$-đẳng cấu của $F$ lên một trường con của $\Omega$, $1$ là ánh xạ đồng nhất của $E$ và $L_w$ là trường con của $\Omega$ sinh bởi $E \cup w(F)$. (b) Suy ra từ a) rằng nếu $F$ có bậc hữu hạn $n$ trên $K$, thì có nhiều nhất $n$ mở rộng hợp thành của $E$ và $F$ từng đôi một không đẳng cấu. (c) Giả sử rằng $E$ là một mở rộng quasi-Galois của $K$ và $F$ là một mở rộng con của $E$. Chứng minh rằng mọi mở rộng hợp thành của $E$ và $F$ đều đẳng cấu với một mở rộng hợp thành có dạng $(E, 1, v)$, trong đó $v$ là một $K$-đẳng cấu của $F$ lên một trường con của $E$.