Exercice 7, § 9

Soient K un corps de caractéristique 0, α, β, ξ trois éléments d’une clôture algébrique de K, tels que [K(α) : K] = 2, [K(β) : K] = 3, [K(ξ) : K] = n > 1 ; on désigne par α' (resp. β', β'') l’unique conjugué ≠ α de α (resp. les conjugués ≠ β de β). a) Montrer que [K(α, ξ) : K] = n si α ∈ K(ξ), [K(α, ξ) : K] = 2n dans le cas contraire. b) Montrer que [K(β, ξ) : K] = n si β ∈ K(ξ), [K(β, ξ) : K] = 2n si β ∉ K(ξ) et un seul des deux éléments β', β'' appartient à K(ξ), et enfin [K(β, ξ) : K] = 3n si aucun des trois éléments β, β', β'' n’appartient à K(ξ). c) Si d est le discriminant du polynôme minimal de β, montrer que $K(\beta, \beta') = K(\beta, \sqrt{d})$. d) Montrer que l’on a K(β, β') = K(β − β'). e) Si n = 2, et α ∉ K(ξ), montrer que K(α, ξ) = K(α + ξ). f) Montrer que K(α, β) = K(α + β). g) Montrer que K(α, β) = K(αβ) sauf si α = aj et β³ = b, où a, b sont des éléments de K et j³ = 1.