Bài tập 7, § 9

Cho K là một trường có đặc số 0, a, β, 5 là ba phần tử của một bao đóng đại số của K sao cho $[K(\alpha):K] = 2,\ [K(\beta):K] = 3,\ [K(\xi):K] = n > 1$; kí hiệu bởi a' (tương ứng $\beta', \beta''$) liên hợp duy nhất $\neq a$ của a (tương ứng các liên hợp $\neq \beta$ của β). a) Chứng minh rằng $[K(\alpha, \xi):K] = n$ nếu $a \in K(\xi)$, $[K(\alpha, 5):K] = 2n$ nếu không. b) Chứng minh rằng $[K(\beta, 5):K] = n$ nếu $\beta \in K(\xi)$, $[K(\beta, 5):K] = 2n$ nếu $\beta \in K(\xi)$ và chỉ một trong $\beta', \beta''$ thuộc $K(\xi)$ và cuối cùng $[K(\beta, \xi):K] = 3n$ nếu không phần tử nào trong ba phần tử $\beta, \beta', \beta''$ thuộc $K(\xi)$. c) Nếu d là biệt thức của đa thức tối tiểu của β, chứng minh rằng $K(\beta, \beta') = K(\beta, \sqrt{d})$. d) Chứng minh rằng $K(\beta, \beta') = K(\beta - \beta')$. e) Nếu $n = 2$ và $a \notin K(\xi)$, chứng minh rằng $K(\alpha, \xi) = K(\alpha + \xi)$. f) Chứng minh rằng $K(\alpha, \beta) = K(a + \beta)$. g) Chứng minh rằng $K(\alpha, \beta) = K(\alpha \beta)$ trừ khi $a = aj$ và $\beta^3 = b$, với a, b là các phần tử của K và $j^3 = 1$.