Exercice 1, § 1

Un monoïde ordonné non nécessairement commutatif M est un monoïde (noté multiplicativement) muni d’une structure d’ordre telle que la relation $x \leq y$ entraîne $zx \leq zy$ et $xz \leq yz$ pour tout $z \in M$. Soit G un groupe ordonné non nécessairement commutatif. Montrer que : a) Si P désigne l’ensemble des éléments supérieurs à l’élément neutre e de G, on a $P.P = P$, $P \cap P^{-1} = \{e\}$, et $aPa^{-1} = P$ pour tout $a \in G$. Réciproque. Condition pour que G soit totalement ordonné. b) Si l’un des éléments $\sup(x, y)$, $\inf(x, y)$ existe, l’autre existe aussi et l’on a

c) Les éléments $\sup(x, e)$ et $\sup(x^{-1}, e)$ sont permutables. Deux éléments étrangers sont permutables. d) Le sous-groupe $G'$ engendré par les éléments extrémaux de G est commutatif. En déduire que le th. 2 de VI, p. 17 est encore valable..