Bài tập 1, § 1

Một nửa nhóm có thứ tự M không nhất thiết giao hoán là một nửa nhóm (viết theo phép nhân) được trang bị một thứ tự sao cho quan hệ x ≤ y kéo theo zx ≤ zy và xz ≤ yz với mọi z ∈ M. Cho G là một nhóm có thứ tự không nhất thiết giao hoán. Chứng minh rằng: a) Nếu P ký hiệu tập hợp các phần tử lớn hơn phần tử đơn vị e của G, thì P . P = P, P ∩ P $^1 = \{e\}$ và $aPa^{-1} = P$ với mọi a ∈ G. Chứng minh đảo lại. Tìm một điều kiện để G được sắp thứ tự toàn phần. b) Nếu một trong hai phần tử sup(x, y), inf(x, y) tồn tại, thì phần tử kia cũng tồn tại, và

c) Các phần tử sup(x, e) và sup($x^{-1}$, e) giao hoán. Hai phần tử nguyên tố cùng nhau giao hoán. d) Nhóm con G' sinh bởi các phần tử bất khả quy của G là giao hoán. Suy ra Đl. 2 của VI, p. 18 vẫn còn đúng.