Exercice 18, § 1

Soit $(G_i)_{i \in I}$ une famille de groupes totalement ordonnés indexée par un ensemble totalement ordonné $I$; on définit sur le groupe $G'$ somme directe des $G_i$ une structure de groupe ordonné en prenant comme éléments $> 0$ de $G'$ les $(x_i)$ non nuls tels que, pour le plus petit indice $i$ pour lequel $x_i \neq 0$, on ait $x_i > 0$. Montrer que, muni de cette structure, $G'$ est un groupe totalement ordonné.