Exercice 19, § 1

Soient $G$ un groupe additif, $(P_\alpha)$ une famille non vide de parties de $G$ telles que l’on ait $P_\alpha + P_\alpha \subset P_\alpha$ et $P_\alpha \cap (-P_\alpha) = \{0\}$; soit $G_\alpha$ le groupe ordonné obtenu en munissant $G$ de la structure d’ordre pour laquelle $P_\alpha$ est l’ensemble des éléments positifs. On pose $P = \bigcap_\alpha P_\alpha$; montrer que l’on a $P + P \subset P$ et $P \cap (-P) = \{0\}$; si $H$ est le groupe ordonné obtenu en munissant $G$ de la structure d’ordre pour laquelle $P$ est l’ensemble des éléments positifs, montrer que $H$ est isomorphe à la diagonale du produit des $G_\alpha$.