Bài tập 19, § 1

Cho $G$ là một nhóm cộng và $(P_\alpha)$ là một họ khác rỗng các tập con của $G$ sao cho $P_\alpha + P_\beta \subset P_\alpha$ và $P_\alpha \cap (-P_\alpha) = \{0\}$; ký hiệu $G_+$ là nhóm có thứ tự thu được từ $G$ bằng cách lấy $P_+$ làm tập hợp các phần tử dương. Chứng minh rằng $P + P \subset P$ và $P \cap (-P) = \{0\}$, trong đó $P = \cap P_\alpha$; nếu $H$ là nhóm có thứ tự thu được từ $G$ bằng cách lấy $P$ làm tập hợp các phần tử dương, chứng minh rằng $H$ đẳng cấu với nhóm con đường chéo của tích các $G_\alpha$.