Exercice 2, § 1

Soit E un ensemble réticulé sur lequel on se donne une loi de composition $(x, y) \mapsto xy$ (non nécessairement associative), telle que, pour tout $a \in E$, les applications $x \mapsto ax$ et $x \mapsto xa$ soient des isomorphismes de l’ensemble ordonné E sur lui-même. On désigne par $x_a$ (resp. $_a x$) l’élément de E défini par $(x_a)a = x$ (resp. $a(_a x) = x$) et l’on suppose que pour tout $a \in E$, $x \mapsto a_x$ et $x \mapsto _xa$ sont des isomorphismes de l’ensemble ordonné E sur E muni de l’ordre opposé. Dans ces conditions, montrer que l’on a, quels que soient $x, y, z$,