Exercice 20, § 1

Soit $G$ un groupe additif, et soit $P$ une partie de $G$ satisfaisant aux conditions : $1^\circ$ $P + P = P$; $2^\circ$ $P \cap (-P) = \{0\}$; $3^\circ$ pour tout entier $n > 0$, $nx \in P$ entraîne $x \in P$ (conditions (C)). a) Si $a$ est un élément de $G$ tel que $a \notin P$, montrer qu’il existe une partie $P'$ de $G$, satisfaisant à (C), et telle que $P \subset P'$ et $-a \in P'$ (on prendra pour $P'$ l’ensemble des $x \in G$ tels qu’il existe deux entiers $m > 0, n \geq 0$ et un élément $y \in P$ satisfaisant à $mx = -na + y$). b) Déduire de a) que $P$ est l’intersection des parties $T$ de $G$ telles que $T + T = T$, $T \cap (-T) = \{0\}$, $T \cup (-T) = G$ (c’est-à-dire définissant sur $G$ une structure de groupe totalement ordonné) et contenant $P$ (utiliser le th. de Zorn).

c) En particulier si G est un groupe additif dont tous les éléments $\neq 0$ sont d’ordre infini, l’intersection des parties T de G telles que $T + T = T, T \cap (-T) = \{0\}, T \cup (-T) = G$, est réduite à 0.