Bài tập 20, § 1

Cho $G$ là một nhóm cộng và $P$ là một tập con của $G$ thỏa mãn các điều kiện sau: 1. $P + P = P$; 2. $P \cap (-P) = (0)$; 3. với mọi số nguyên $n > 0$, $nx \in P$ kéo theo $x \in P$ (các điều kiện (C)).

EXERCISES

a) Nếu a là một phần tử của G sao cho a $\notin P$, hãy chứng minh rằng tồn tại một tập con P' của G, thỏa mãn các điều kiện (C'), sao cho $P \subset P'$ và $-a \in P'$ (lấy P' là tập hợp các $x \in G$ sao cho tồn tại các số nguyên $m > 0$ và $n \geq 0$ và một phần tử $y \in P$ với $mx = -na + y$.

b) Suy ra từ a) rằng P là giao của những tập con T của G sao cho $T + T = T, T \cap (-T) = \{0\}, T \cup (-T) = G$ (nghĩa là biến G thành một nhóm được sắp thứ tự toàn phần) và $P \subset T$ (sử dụng Bổ đề Zorn).

c) Đặc biệt, nếu G là một nhóm cộng trong đó mọi phần tử khác không đều có cấp vô hạn, thì giao của tất cả các tập con T của G sao cho $T + T = T, T \cap (-T) = (0)$ và $T \cup (-T) = G$ là $\{0\}$.