Exercice 25, § 1

Soit I le monoïde semi-réticulé des idéaux d’un anneau commutatif A (exerc. 24). Pour qu’un système de congruences en nombre fini $x \equiv a_i (a_i)$ admette une solution chaque fois que deux quelconques d’entre elles ont une solution commune (c’est-à-dire que l’on a

pour tout couple d’indices $i, j$), il faut et il suffit que, dans I, chacune des lois soit distributive par rapport à l’autre (« théorème chinois »). On pourra procéder de la façon suivante : a) Si l’on a $(a_1 \cap a_2) + (a_1 \cap a_3) = a_1 \cap (a_2 + a_3)$ et si deux quelconques des trois congruences $x \equiv a_i(a_i)$ ($i = 1, 2, 3$) admettent une solution commune, alors les trois congruences ont une solution commune (soit $x_{12}$ une solution commune de $x \equiv a_1(a_1)$ et $x \equiv a_2(a_2)$, $x_{13}$ une solution commune de $x \equiv a_1(a_1)$ et $x \equiv a_3(a_3)$; montrer que les congruences $x \equiv x_{12}(a_1 \cap a_2)$ et $x \equiv x_{13}(a_1 \cap a_3)$ ont une solution commune). b) Si tout système de trois congruences, telles que deux quelconques d’entre elles aient une solution commune, admet une solution commune, montrer qu’on a les formules de distributivité (Pour la première, remarquer que pour tout $x \in (a + b) \cap (a + c)$, il existe $y$ tel que $y \in b \cap c$ et $y \equiv x(a)$; pour la seconde, remarquer que, pour tout $x \in a \cap (b + c)$, il existe $y \in a \cap b$ tel que $y \equiv x(c)$.) On notera que, en vertu de a) et b), la seconde formule de distributivité entraîne la première (cf. E, III, p. 72, exerc. 16). c) Démontrer le « théorème chinois » par récurrence sur le nombre des congruences considérées, par une méthode analogue à celle de a). d) \ Traduction dans le cas des anneaux principaux. \*

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