Bài tập 25, § 1

Cho I là nửa dàn có thứ tự của môđun đơn vị của các iđêan của một vành giao hoán A (Bài tập 24). Để một hệ hữu hạn các đồng dư $x \equiv a_i (a_i)$ có nghiệm bất cứ khi nào hai trong số chúng có một nghiệm chung (nghĩa là bất cứ khi nào

với mọi cặp chỉ số i, j), điều kiện cần và đủ là mỗi một trong các luật

trong I phải phân phối đối với luật kia ("định lý phần dư Trung Hoa"). Ta có thể tiến hành như sau: a) Nếu $(a, \cap a_2) + (a, \cap a_3) = a, \cap (a, + a_3)$ và nếu hai bất kỳ trong ba đồng dư $x \equiv a_i (a_i)$ ($i = 1, 2, 3$) có một nghiệm chung, thì ba đồng dư có một nghiệm chung (gọi $x_{12}$ là một nghiệm chung của $x \equiv a_1(a_1)$ và $x \equiv a_2(a_2)$ và gọi $x_{13}$ là một nghiệm chung của $x \equiv a_1(a_1)$ và $x \equiv a_3(a_3)$; chứng minh rằng các đồng dư $x = x_{12}(a_1 \cap a_2)$ và $x \equiv x_{13}(a_1 \cap a_3)$ có một nghiệm chung). b) Nếu mọi hệ ba đồng dư, mà hai đồng dư bất kỳ trong đó có một nghiệm chung, đều có một nghiệm chung, chứng minh rằng các luật phân phối sau đây đúng

(Đối với luật thứ nhất, chú ý rằng với mọi $x \in (a + b) \cap (a + c)$, tồn tại $y \in b \cap c$ sao cho $y \equiv x(a)$; đối với luật thứ hai, chú ý rằng với mọi $x \in a \cap (b + c)$, tồn tại $y \in a \cap b$ sao cho $y \equiv x(c)$.) Chú ý rằng theo a) và b), luật phân phối thứ hai kéo theo luật thứ nhất (xem Lý thuyết tập hợp, III, p. 217, Bài tập 16). c) Chứng minh "định lý phần dư Trung Hoa" bằng quy nạp theo số các đồng dư đang xét, bằng một lập luận tương tự như lập luận trong a). d) Dịch trong trường hợp các miền iđêan chính.