Exercice 3, § 1

a) Soit $A$ un anneau intègre dans lequel tout ensemble non vide d’idéaux admet un élément maximal et dans lequel tout idéal maximal est principal ; montrer que $A$ est un anneau principal. (Remarquer que si $a$ est un idéal $\neq A$ dans $A$, il existe un idéal maximal $(p) \supset a$ tel que $\frac{1}{p} a$, qui est un idéal de $A$, contienne $a$ et en soit distinct.) b) Soient $K$ un corps, $K_1 = K((X))$ le corps des séries formelles à une indéterminée $X$ sur $K$ (IV, p. 36), $B = K_1[[Y]]$ l’anneau des séries formelles en $Y$ à coefficients dans $K_1$. Soit $A$ le sous-anneau de $B$ formé des séries formelles $\sum_{n=0}^\infty a_n(X) Y^n$ telles que, dans la série formelle $a_0(X)$, ne figurent que des puissances de $X$ d’exposant $\geqslant 0$. Montrer que, dans $A$, l’idéal principal $(X)$ est l’unique idéal maximal, mais que l’idéal engendré par les éléments $Y X^{-n}$ ($n$ entier $\geqslant 0$ arbitraire) n’est pas principal.