Bài tập 3, § 1

Cho $A$ là một miền nguyên trong đó mọi tập hợp khác rỗng các iđêan đều có một phần tử cực đại và trong đó mọi iđêan cực đại đều là chính; hãy chứng minh rằng $A$ là một miền iđêan chính. (Lưu ý rằng nếu $a \neq A$ là một iđêan của $A$ thì tồn tại một iđêan cực đại $(p) \supset a$ sao cho $\frac{1}{p} a$, là một iđêan của $A$, chứa thực sự $a$.)

b) Cho $K$ là một trường, cho $K_1 = K((X))$ là trường các chuỗi lũy thừa hình thức theo một ẩn $X$ trên $K$ (IV, p. 38), và cho $B = K_1[[Y]]$ là vành các chuỗi lũy thừa hình thức theo $Y$ với các hệ số trong $K_1$. Cho $A$ là vành con của $B$ gồm các chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^\infty a_n(X) Y^n$ sao cho chuỗi lũy thừa $a_0(X)$ chỉ chứa các lũy thừa của $X$ có số mũ $\geq 0$. Hãy chứng minh rằng iđêan chính $(X)$ là iđêan cực đại duy nhất của $A$, nhưng iđêan của $A$ sinh bởi các phần tử $Y X^{-n}$ ($n \geq 0$ là một số nguyên tùy ý) không phải là chính.