Exercice 4, § 1

Soient $A$ un anneau intègre, $S$ une partie de $A$, stable pour la multiplication, et ne contenant pas $0$. On note $S^{-1}A$ l’anneau des éléments $s^{-1}a$ ($a \in A,\ s \in S$) dans le corps des fractions $K$ de $A$ (I, p. 107). a) Montrer que si $A$ est un anneau principal, $S^{-1}A$ est un anneau principal. b) Soient $A$ un anneau principal, $p$ un élément extrémal de $A$ ; montrer que le complémentaire $S$ de l’idéal $(p)$ est stable pour la multiplication ; dans l’anneau $S^{-1}A$, l’idéal $pS^{-1}A$ est l’unique idéal maximal, et le corps quotient $S^{-1}A/pS^{-1}A$ est isomorphe à $A/(p)$.

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