Bài tập 4, § 1

Cho $A$ là một miền nguyên và $S$ là một tập con đóng đối với phép nhân của $A$ không chứa $0$. Ký hiệu $S^{-1}A$ là vành các phần tử $s^{-1}a$ ($s \in S, a \in A$) trong trường phân thức $K$ của $A$ (I, p. 116). a) Chứng minh rằng nếu $A$ là một miền iđêan chính thì $S^{-1}A$ cũng là một miền iđêan chính. b) Cho $A$ là một miền iđêan chính và $p$ là một phần tử bất khả quy của $A$; chứng minh rằng phần bù $S$ của iđêan $(p)$ là đóng đối với phép nhân; trong vành $S^{-1}A$, iđêan $pS^{-1}A$ là iđêan cực đại duy nhất, và trường thương $S^{-1}A/pS^{-1}A$ đẳng cấu với $A/(p)$.