Exercice 2, § 2

Soient A un anneau principal, π un élément extrémal de A, M un module π-primaire ; montrer que pour tout $x \in M$ et tout $\alpha \in A$ non multiple de π, il existe un $y \in M$ et un seul tel que $x = \alpha y$ (utiliser l’identité de Bezout) ; on pose $y = \alpha^{-1} x$. En déduire que, si $A_{(\pi)}$ désigne l’anneau principal formé des éléments $\beta / \alpha$ du corps des fractions K de A, où $\beta \in A$ et $\alpha \in A$ n’est pas multiple de π (VII, p. 48, exerc. 4), il existe sur M une structure de $A_{(\pi)}$-module et une seule telle qu’en restreignant à A l’anneau d’opérateurs de cette structure, on obtienne sur M la structure donnée de A-module. On dit que le $A_{(\pi)}$-module ainsi défini est canoniquement associé à M ; ses sous-modules sont identiques aux sous-A-modules de M.