Exercice 10, § 3

Soit M un sous-$\mathbf{Z}$-module non nul de l’anneau des entiers $p$-adiques $\mathbf{Z}_p$ tel que M soit un sous-$\mathbf{Z}$-module pur du $\mathbf{Z}$-module $\mathbf{Z}_p$ (VII, p. 54, exerc. 7). Montrer que l’on a $M + p\mathbf{Z}_p = \mathbf{Z}_p$; en déduire que M est indécomposable (observer que $\mathbf{Z}_p/p\mathbf{Z}_p$ est isomorphe à $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$). Donner un exemple de sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Z}_p$ qui est décomposable (observer que $\mathbf{Z}_p$ a la puissance du continu).