Exercice 4, § 3

Soit E un module sans torsion sur un anneau principal A. a) Montrer que, si F est un sous-module pur de E (VII, p. 54, exerc. 7), E/F est sans torsion, et réciproquement. b) Soit F un sous-module de E engendré par une famille pseudolibre maximale (VII, p. 54, exerc. 4) ; F est un sous-module libre et pur de E. Montrer que, pour tout $\dot{x} \in E/F$, il existe un élément non inversible $\alpha$ de A, et un élément $\dot{y} \in E/F$ tels que $\dot{x} = \alpha \dot{y}$, mais que E/F n’est pas nécessairement un module divisible (cf. exerc. 3).