Bài tập 4, § 3

Cho $E$ là một môđun không xoắn trên một miền iđêan chính $A$. a) Chứng minh rằng, nếu $F$ là một môđun con thuần của $E$ (VII, p. 55, Ex. 7), thì $E/F$ là không xoắn, và ngược lại. b) Cho $F$ là một môđun con của $E$ được sinh bởi một họ giả tự do cực đại (VII, p. 55, Ex. 4); khi đó $F$ là một môđun con thuần, tự do của $E$. Chứng minh rằng, với mọi $1 \in E/F$, tồn tại một phần tử không khả nghịch $a$ của $A$ và một phần tử $y' \in E/F$ sao cho $x = a y'$, nhưng $E/F$ không nhất thiết là một môđun chia được (cf. Ex. 3).