Exercice 5, § 3

Soit A un anneau principal ayant un seul idéal maximal $A\pi$ (cf. VII, p. 48, exerc. 4). Soient E un A-module sans torsion, et M un sous-module libre de E, tel que E/M soit sans torsion, divisible et de rang 1. Soient $(e_\alpha)$ une base de M, $\dot{u}$ un élément $\neq 0$ de E/M, $u$ un élément de la classe $\dot{u}$; pour tout entier $n > 0$, soit $u_n$ un élément de E tel que $u \equiv \pi^n u_n$ (mod. M). On pose $u = \pi^n u_n + \sum \lambda_{n\alpha} e_\alpha$.

a) Montrer que E est engendré par M et les $u_n$, et que l’on a $\lambda_{n\alpha} - \lambda_{n+1,\alpha} \in A\pi^n$ pour tout $\alpha$ et tout entier $n > 0$ (cf. exerc. 4, a)). b) On suppose de plus que A est un anneau complet pour la topologie $\mathscr{T}$ définie en prenant les idéaux $A\pi^n$ comme système fondamental de voisinages de 0 dans A (TG, III, p. 5) ; on pose $\lambda_\alpha = \lim_{n \to \infty} \lambda_{n\alpha}$. Montrer que, si $\mu$ et les $\mu_\alpha$ sont tels que $\mu u - \sum \mu_\alpha e_\alpha$ appartienne à tous les sous-modules $\pi^n E$, on a nécessairement $\mu_\alpha = \lambda_\alpha \mu$ pour tout $\alpha$.