Bài tập 5, § 3

Cho $A$ là một miền iđêan chính có một iđêan cực đại duy nhất $A \pi$ (xem VII, p. 48, Bài tập 4). Cho $E$ là một $A$-môđun không xoắn, và $M$ là một môđun con tự do của $E$, sao cho $E/M$ là không xoắn, chia được và có hạng 1. Cho $(e_\alpha)$ là một cơ sở của $M$, cho $u$ là một phần tử khác không của $E/M$, và $u$ là một phần tử của lớp kề $u$; với mỗi số nguyên $n > 0$, cho $u_n$ là một phần tử của $E$ sao cho $u \equiv \pi^n u_n \pmod{M}$. Đặt $u = \pi^n u_n + \sum \lambda_{n\alpha} e_\alpha$.

a) Chứng minh rằng $M$ được sinh bởi $M$ và các $u_n$, và rằng $A_\alpha - A_{\alpha-1,\alpha} \in A n^n$ với mọi $\alpha$ và với mọi số nguyên $n > 0$ (xem Bài tập 4, a)).

b) Giả sử thêm rằng $A$ là đầy đủ đối với tôpô $\mathscr{T}$ được xác định bằng cách lấy các iđêan $A n^n$ làm một cơ sở của các lân cận mở của $0$ trong $A$ (Tôpô Đại cương, III, p. 5); đặt $A_\alpha = \lim_{n \to \infty} A_{\alpha-1,\alpha}$. Chứng minh rằng, nếu $\mu$ và $\mu_\alpha$ là sao cho $\mu u - \sum \mu_\alpha e_\alpha$ thuộc mọi môđun con $\pi^n E$, thì tất yếu $\mu_\alpha = \lambda_\alpha \mu$ với mọi $\alpha$.