Exercice 6, § 5

On dit que deux couples $(A_1, A_2), (B_1, B_2)$ de matrices carrées d’ordre $n$ sur un corps commutatif $K$ sont équivalents s’il existe deux matrices carrées inversibles $P$ et $Q$ sur $K$ telles que $A_1 = PB_1Q$ et $A_2 = PB_2Q$. Si $A_1$ et $B_1$ sont inversibles, montrer que, pour que les deux couples soient équivalents, il faut et il suffit que les deux matrices $XA_1 + A_2$ et $XB_1 + B_2$ soient équivalentes sur l’anneau $K[X]$.