Bourbaki

Exercice 7, § 5

Algèbre, VII, p. 67

Soit AA une matrice à mm lignes et nn colonnes, de rang rr, sur un corps KK. Si PP est une matrice carrée d’ordre mm, QQ une matrice carrée d’ordre nn sur KK, telles que PAQ=APAQ = A, montrer qu’il existe une matrice P′P' semblable à PP et une matrice Q′Q' semblable à QQ, telles que

P′=(RS0U),Q′=(R−10S′U′) P' = \begin{pmatrix} R & S \\ 0 & U \end{pmatrix}, \quad Q' = \begin{pmatrix} R^{-1} & 0 \\ S' & U' \end{pmatrix}

où RR est une matrice carrée inversible d’ordre rr, UU (resp. U′U') une matrice carrée d’ordre m−rm - r (resp. n−rn - r), SS (resp. S′S') une matrice à rr lignes et m−rm - r colonnes (resp. n−rn - r lignes et rr colonnes).

Solution

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Transcrit du volume imprimé. Non traduit.