Exercice 9, § 5

Soient $A$ une matrice carrée d’ordre $n$, $B$ une matrice carrée d’ordre $m$, $C$ une matrice à $m$ lignes et $n$ colonnes sur un corps $K$. Ramener la solution de l’équation $XA = BX + C$, où $X$ est une matrice inconnue à $m$ lignes et $n$ colonnes sur $K$, à la résolution d’un système de congruences linéaires dans l’anneau de polynômes $K[Y]$ (pour tout $f \in K[Y]$, remarquer que l’on doit avoir $Xf(A) = f(B)X + H(f)$, où $H(f)$ est une matrice à $m$ lignes et $n$ colonnes bien déterminée ; soit $\bigoplus_i E_i$ la décomposition du module $E$ associé à $A$ (n° 1) en somme directe de modules monogènes, les annulateurs des $E_i$ étant les invariants de similitude $f_i$ distincts de 1 de $A$ (prop. 2), et soient $a_i$ des générateurs des $E_i$; on définit de même les sous-modules $F_j$, de générateurs $b_j$, et les polynômes $g_j$ relatifs à $B$; écrire que $Xf_i(A)\ a_i = 0$; puis décomposer $Xa_i$ et $H(f_i)\ a_i$ suivant les $F_j$, et montrer que les conditions obtenues ainsi en partant des équations $Xf_i(A)\ a_i = 0$ sont nécessaires et suffisantes pour l’existence d’une solution).