Bài tập 9, § 5

Cho $A$ là một ma trận bình phương cấp $n$, cho $B$ là một ma trận bình phương cấp $m$, và cho $C$ là một ma trận có $m$ hàng và $n$ cột trên một trường $K$. Rút gọn phương trình $XA = BX + C$, trong đó $X$ là một ma trận chưa biết có $m$ hàng và $n$ cột trên $K$, thành một hệ các đồng dư tuyến tính trong vành đa thức $K[Y]$ (với mọi $f \in K[Y]$, hãy chú ý rằng $Xf(A) = f(B)X + H(f)$ với một ma trận $H(f)$ được xác định rõ có $m$ hàng và $n$ cột; lấy $\oplus E_i$ là phân tích của môđun $E$ liên kết với $A$ (Sect. 1) thành một tổng trực tiếp của các môđun cyclic, mà các linh tử của chúng là các bất biến tương tự $f_i$ của $A$ phân biệt với 1 (Prop. 2), và lấy $a_i$ là các phần tử sinh của $E_i$; theo cách tương tự định nghĩa các môđun con $F_j$, được sinh bởi $b_j$, và các đa thức $g_j$ tương ứng với $B$; viết $Xf_i(A)a_i = 0$; sau đó phân tích $Xu$, và $H(f_j)a_i$ theo các $F_j$, và chứng minh rằng các điều kiện thu được như vậy từ các phương trình $Xf_i(A)a_i = 0$ là cần và đủ để tồn tại một nghiệm).