Exercice 13, Annexe 1

On suppose que $k$ est un corps et que A admet une base finie sur $k$ formée d’éléments nilpotents. Prouver que A est nilpotente (exerc. 9; se ramener au cas où l’algèbre A est semi-simple (cf. exerc. 7), puis de la forme $\mathbf{M}_n(K)$ en étendant le corps de base).