Exercice 7, Annexe 1

On dit que la $k$-algèbre A est artinienne si toute suite décroissante d’idéaux à gauche de A est stationnaire. Pour que l’anneau $\widetilde{A}$ soit artinien, il faut et il suffit que l’algèbre A et l’anneau $k$ soient artiniens. Si $k$ est un corps, démontrer qu’une algèbre artinienne sans radical A est unifère (remarquer que l’algèbre $\widetilde{A}$ est semi-simple).