Exercice 9, Annexe 1

On suppose que $k$ est un corps et que A est une $k$-algèbre nilpotente, c’est-à-dire qu’il existe un entier $n$ tel que $A^n=\{0\}$. Prouver que A est de dimension finie sur $k$ (raisonner par récurrence sur le plus petit entier $n$ tel que $A^n=\{0\}$).