Exercice 13, § 1

a) Soit $\rho : A\rightarrow B$ un homomorphisme d’anneaux. Supposons que A soit noethérien à gauche et qu’il existe une partie finie S de B, dont les éléments commutent entre eux et à ceux de $\rho$(A), telle que l’anneau B soit engendré par $\rho (A)$ et S. Alors B est noethérien à gauche.

b) Soit A un anneau commutatif non nul. Donner un exemple de A-algèbre associative et unifère, engendrée par un nombre fini d’éléments, qui n’est un anneau noethérien ni à gauche, ni à droite (on pourra considérer l’algèbre associative libre Libas$_A(I)$ (III, p. 21, déf. 2), où I est un ensemble de cardinal $\geqslant 2$).