Exercice 2, § 10

Soient A un anneau artinien (à gauche), $\mathfrak{r}$ son radical.

a) Démontrer que tout idéal à droite $\mathfrak{b}$ de A contient un idéal à droite minimal (considérer les idéaux $\mathfrak{b}\cap \mathfrak{r}^p$, en observant que si $\mathfrak{b}\mathfrak{r}= 0,\mathfrak{b}$ est un $A/\mathfrak{r}$-module à droite).

b) Prouver que le socle gauche (resp. droit) de A est l’annulateur à droite (resp. à gauche) de $\mathfrak{r}$. En déduire que tout idéal bilatère minimal de A est contenu dans l’intersection du socle droit et du socle gauche de A.