Exercice 11, § 12

Soient A et B des K-algèbres ; on suppose que les anneaux A et B sont primitifs et que leurs socles respectifs $\mathfrak{s}$ et $\mathfrak{t}$ (VIII, p. 126, exerc. 8) ne sont pas réduits à 0. Soit D (resp. E) le commutant d’un idéal à gauche minimal $\mathfrak{a}$ de A (resp. $\mathfrak{b}$ de B) ; on suppose que l’algèbre $D\otimes E$ est simple. Prouver que $A\otimes B$ est un anneau primitif de socle $\mathfrak{s}\otimes \mathfrak{t}$ (observer que le $(A\otimes$ B)-module $\mathfrak{a}\otimes \mathfrak{b}$ est isotypique de longueur finie ; utiliser l’exerc. 9, a) de VIII, p. 127).