Exercice 8, § 12

Soient K un corps commutatif, L une extension radicielle de K, de degré fini $>1$. Soit V un espace vectoriel de dimension infinie sur L, et soit A la sous-K-algèbre de End$_L(V)$ engendrée par les endomorphismes de rang fini et par l’application identique. Démontrer que la L-algèbre $A_{(L)}$ admet un radical non nul, bien que son centre soit égal à L (utiliser l’exerc. 7).