Exercice 12, § 13

Soient A un anneau commutatif, J un idéal de A, B l’anneau $A/J$ et P un B-module.

a) Démontrer que la suite exacte $0\rightarrow J/J^2\rightarrow A/J^2\rightarrow B\rightarrow 0$ définit une extension de la A-algèbre B par P (exerc. 10).

b) Soit P un B-module. Prouver que l’homomorphisme Hom$_B(J/J^2,P)\longrightarrow$ Ex$^c_A(B,P)$ qui associe à $u$ l’extension déduite de l’extension ci-dessus est un isomorphisme.