Exercice 2, § 13

Soient $A_1$ et $A_2$ des K-algèbres, A l’algèbre $A_1\otimes_KA_2, M_i$ un $A_i$-module $(i= 1,2)$ et M le A-module $M_1\otimes_KM_2$.

a) On suppose que le $A_1$-module $M_1$ est absolument sans radical ; démontrer l’inclusion $\mathfrak{R}_A(M)\subset M_1\otimes_K\mathfrak{R}_{A_2}(M_2)$.

b) Si les modules $M_1$ et $M_2$ sont absolument sans radical, il en est de même du A-module M.